x趋近于0的极限(证明x的极限为0)

sin/x的极限x趋近于0,结果等于1。这是第一个重要的极限,你可能每天都会用到,因为它在高等数学中的应用非常广泛,但是你对它了解多少呢?你真的懂吗?

这个极限用极限的定义是很麻烦的。所以一般用pinching定理证明,也叫极限的强制收敛。

当x在0和之间时,有一个重要的不等式sinxxtanx。所以在这个区间内,不等式的三个公式同时除以sinx得到1x/sinx1/cosx。同时取倒数可以得到cosxsinx/x1。

而cos (-x)=cosx,sin (-x)/(-x)=sinx/x,即从偶函数的性质可知,当x在负半和0之间时,仍有cosxsinx/x1。因此,当x在U0(0,/2)的中空邻域上时,cosxsinx/x1。当x趋于0时,cosx的极限是1,1的极限自然是1。从极限的强制收敛来看,x趋近于0的极限sinx/x等于1。

我们在学习无穷小和等阶无穷小的知识时,可以直接得到当x趋于0时,sinx/x的极限等于1的结论。但是,你也可以说,我们从这个极限等于1推导出sinx和x是同阶无穷小,所以不能反过来用。

其实不是这样的,因为x=0时sinx和x的导数都等于1,所以是同阶的。这牵涉到方法,的另一个重要极限,即关于导数的洛必达定律。对于0到0的极限,我们可以同时求导分子和分母,得到极限的值。

最后,在这个极限的应用中,我们看到最多的是换元法的应用。比如求x趋于0时sin2x/(2x)的极限。就设t=2x,那么当x趋于0时,t也趋于0,所以当t趋于0时,sin2x/(2x)=sint/t的极限也等于1。再改一遍,求x趋于0时sin2x/x的极限,那么就可以把函数变成2sin2x/(2x),原来的极限等于2x。

另外,当x趋于0时,sinx/x和x/sinx的极限相等,但不能说是同一个极限。因为,当x趋于无穷大时,前者等于0,后者的极限不存在。